蓉省數(shù)學(xué)會(huì)，

行政樓三樓，副會(huì)長(zhǎng)辦公室，

“老師，今年的題會(huì)不會(huì)出得太難了？”

一個(gè)二十多歲的青年端著咖啡，坐在沙發(fā)上，跟對(duì)面一個(gè)五十來歲的中年說道。

兩人才剛討論完一個(gè)學(xué)術(shù)問題，此時(shí)都有些疲憊，決定先坐下來休息休息。

馬景堂揉著太陽穴，搖了搖頭，“就是要難點(diǎn)才好！”

心里感嘆著歲月不饒人，當(dāng)年他年輕時(shí)，思維何等敏捷，現(xiàn)在只是討論了一個(gè)小時(shí)，就有些力不從心了，他已經(jīng)過了數(shù)學(xué)家出成績(jī)的三十到五十歲黃金期了。

“去年題出得簡(jiǎn)單，倒是有不少考滿分的，看著花團(tuán)錦簇，一片繁榮的樣子，結(jié)果怎么著？”

“最后偌大一個(gè)蓉城，竟然沒有一個(gè)參加IMO的選手！”

談到這個(gè)話題，馬景堂也正好有話要說，這一年來他可沒少被其他省數(shù)學(xué)會(huì)的老家伙們調(diào)侃，所以今年他特意打招呼，把題往難了出。

楊寒莞爾，想到了老師被調(diào)侃的畫面。

蓉省也算是數(shù)競(jìng)強(qiáng)省，去年卻連進(jìn)IMO的選手都沒有，說是浪費(fèi)了人才也不為過，的確是奇恥大辱了。

“老師竟然直接把那道題當(dāng)成了壓軸題，”

但是楊寒還是不太贊成老師的做法，“那道題難度可不低，甚至比一些CMO的題都難了，今年恐怕一個(gè)滿分都沒有了。”

“省賽滿不滿分的不重要，能進(jìn)IMO，能在IMO拿到金牌才重要！”

馬景堂滿不在乎的輕輕擺了擺手，“再說了，最后那道題可是那位出的，要是能做出來，說不定還能入那位的眼，對(duì)那些小家伙來說反倒是好事。”

“這倒也是。”

楊寒點(diǎn)頭表示認(rèn)同。

“就是不知道今年還能不能出個(gè)滿分了。”

……

李斌走下講臺(tái)，來到陳輝身旁，看向陳輝的試卷。

就這么短短的功夫，第一道大題的空白就已經(jīng)寫滿了字跡，這個(gè)小家伙已經(jīng)在第二題的空白處書寫解題過程了。

“這么快的嗎？”

這下子李斌可不會(huì)認(rèn)為陳輝是在瞎寫了。

填空題可以隨便寫點(diǎn)數(shù)字，大題是需要過程的，若是不會(huì)，連瞎寫都做不到。

不管做得對(duì)不對(duì)，至少說明這孩子數(shù)學(xué)素養(yǎng)是很不錯(cuò)的。

“看來今年蓉省有兩個(gè)很不錯(cuò)的苗子啊！”

李斌有些開心，結(jié)合所有人的反應(yīng)，他知道，并不是今年的題太簡(jiǎn)單，而是考生里出了兩位妖孽。

雖然天天在數(shù)學(xué)會(huì)里打雜，但他還挺喜歡這里的，若是蓉省的選手取得好成績(jī)，蓉省數(shù)學(xué)會(huì)也會(huì)與有榮焉。

簡(jiǎn)單掃了一眼解題過程，確定陳輝第一道大題解答沒有問題后。

李斌再次邁步，向右邊中間那位同學(xué)走去。

一路走過，其他同學(xué)們大多還在做填空題第7題，第8題，當(dāng)然，也有的同學(xué)選擇性的放棄了第8題，開始看大題了。

而現(xiàn)在距離考試開始已經(jīng)過去半個(gè)小時(shí)了！

別看考試時(shí)間還剩兩個(gè)多小時(shí)，但李斌知道，后面的四道大題才是硬菜，兩個(gè)半小時(shí)可不好啃。

嗯，當(dāng)然是對(duì)一般人來說。

比如眼前這位，同樣已經(jīng)做完了第一道大題，開始審第二題的題目了。

速度也就比第一排蓉城二中那個(gè)家伙慢點(diǎn)。

時(shí)間飛快流逝，做完第二道大題，看向第三道，鄧樂巖感覺很是疲憊。

去年他還是初三的時(shí)候就參加了省賽，還入了國(guó)決，當(dāng)然，最后只拿到了銅牌。

去年省賽他還拿了滿分，所以這次來考試根本沒當(dāng)回事，只有他自己知道這一年的時(shí)間他成長(zhǎng)有多恐怖。

天才的一年，跟普通人的一年是不一樣的。

但顯然，今年的題比去年難了許多，即便是一年后的他做起來，都感覺很是吃力，讓他有種去年做CMO題目的滯澀感。

尤其是那個(gè)煩人的監(jiān)考老師，還不停的在旁邊晃悠，讓他很是惱火，恨不得給他找張椅子，把他按上去。

陳輝絲毫沒有受到影響，他早就習(xí)慣了在任何環(huán)境下學(xué)習(xí)，一旦他全神貫注的去做某件事情，外界很難對(duì)他造成影響。

飛快的寫完第二道平面幾何的證明題，陳輝看向了第三道大題。

【設(shè) A，B為正整數(shù)，S是一些正整數(shù)構(gòu)成的一個(gè)集合，具有下述性質(zhì)：

（1）對(duì)任意非負(fù)整數(shù) k，有 A^k∈S;

（2）若正整數(shù) n∈S，則 n的每個(gè)正約數(shù)均屬于 S;

（3）若 m，n∈S，且 m，n互素，則 mn∈S;

（4）若 n∈S，則 An B∈S。

證明：與 B互素的所有正整數(shù)均屬于 S.】

“數(shù)論？”

陳輝皺眉。

他并不擅長(zhǎng)數(shù)論。

但他也沒有自暴自棄，將已知性質(zhì)和結(jié)論轉(zhuǎn)化成數(shù)論語言，他輕易的就找到了目標(biāo)。

就是要去構(gòu)造一個(gè)與B互素的數(shù)，假設(shè)為p，再證明p∈S即可。

再根據(jù)性質(zhì)3，若pi，pj互素，則pi·pj∈S，又根據(jù)素?cái)?shù)分解定理，每個(gè)大于1的正整數(shù)都可以唯一地表示為若干個(gè)素?cái)?shù)的乘積，并且這些素?cái)?shù)的冪次是唯一的。

所以P可以寫成p1^α1·p2^α2···pm^αm，其中p1到pm均為素?cái)?shù)。

也就是說，只需要證明pi^k∈S（k為任意非負(fù)整數(shù)），就能證明P∈S。

很快，陳輝就有了思路，根據(jù)題目，如果pi能夠被A整除，那么根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)2，輕易就能得出pi^k∈S。

可若是pi不能整除A呢？

不能整除，就說明pi與A也互素，同時(shí)因?yàn)镻i為P的分解素?cái)?shù)，P與B互素，那么pi與B也互素。

性質(zhì)123都已經(jīng)用了，所以接下來必然會(huì)用到性質(zhì)4。

An B∈S

這個(gè)性質(zhì)應(yīng)該怎么利用呢？

陳輝絞盡腦汁，卻一籌莫展，這還是他洞察力提升后，第二次遇到這種情況，這讓他想到了在數(shù)競(jìng)隊(duì)張安國(guó)給他出的題，當(dāng)時(shí)他也是像現(xiàn)在這般。

后來他知道張安國(guó)那道題有常規(guī)的解法，只是他當(dāng)時(shí)不知道而已。

所以，這道題必然也有某個(gè)解法，或者公式定理是自己沒有想到的！

可陳輝沒有深入研究數(shù)論，大腦中也并沒有關(guān)于數(shù)論的體系，一時(shí)之間竟然都不知道該從什么地方去尋找這種解法或者公式定理。

解法，公式定理，說白了，就是前人搭的梯子。

牛頓說過，他能有那般成就，不過是站在了巨人的肩膀上。

所以，解法當(dāng)然要從前輩先賢身上去找！

陳輝大腦飛速運(yùn)轉(zhuǎn)，開始頭腦風(fēng)暴。

擅長(zhǎng)數(shù)論的數(shù)學(xué)家很多，但目前陳輝了解的也就那么幾個(gè)，費(fèi)馬、歐拉、高斯。

費(fèi)馬研究的東西天馬行空，費(fèi)馬大小定理，親和數(shù)，素?cái)?shù)分布，這些定理在數(shù)論中的地位舉足輕重。

但他一生只玩高端局，并且都是讓后人幫他證明，高中生的題目應(yīng)該還輪不到費(fèi)馬出馬吧？

高斯主要研究的是代數(shù)數(shù)論，比如二次互反律，算術(shù)幾何平均之類的問題，顯然跟這道題的調(diào)性不符。

所以，是歐拉嗎？

一番分析，陳輝將目標(biāo)鎖定在了這位數(shù)學(xué)國(guó)王身上。

他有些振奮，他對(duì)歐拉的了解其實(shí)是要比其他兩人更多的。

這還是因?yàn)楫?dāng)時(shí)學(xué)習(xí)歐拉積分時(shí)，聽了安老師的建議。

否則他就只能抓瞎了。

死馬當(dāng)成活馬醫(yī)，沒有選擇的選擇，就是最好的選擇。

陳輝開始回想歐拉一生中提出的，關(guān)于數(shù)論方面的定理。

他也不是擰巴的人，如果從歐拉身上找不到解題方法，那就放棄這道題，回去好好研究數(shù)論，明年再來便是。

歐拉一生發(fā)表了超過 1500篇論文，提出的定理公式理論浩繁如星海。

經(jīng)過提升的記憶力幫了陳輝大忙，有極強(qiáng)的洞察力輔助，雖然只是看了一遍歐拉的生平，但對(duì)歐拉提出的重要的公式和定理他都記得很清楚。

既然想到歐拉，那么自然能想到他在數(shù)論領(lǐng)域大名鼎鼎的歐拉定理。

歐拉定理！

很快，陳輝眼前亮起刺目的光芒。

找到了！

他找到了！

解題的鑰匙果然藏在歐拉身上！

歐拉定理：

若a和n是正整數(shù)，且a和n互素（即最大公約數(shù)為1），則a的φ(n)次方對(duì)n取模的結(jié)果為1，即aφ(n)≡1(modn)

陳輝陷入前所未有的興奮狀態(tài)，無數(shù)思路如同泉水般在大腦中涌現(xiàn)。

【由歐拉定理，A^aφ(pi^k)·n B≡n b(modpi^k)，則令a0=1，an=A^aφ(pi^k)·A^n B，則an≡A^n B(modpi^k)，又因?yàn)?pi，A)=1，(pi，B)=1，所以當(dāng)n從0取到pi^k時(shí)，an可以取到pi^k的完全剩余系，此時(shí)必有at=t·pi^k∈S，所以pi^k∈S！

綜上所述……】

證明完畢！